In Progress


| Konstrukcja przedstawiona została na tym rysunku:

Tak, to prawda. Skorzystałem z tw. o kącie środkowym i wpisanym opartych
na wspólnej cięciwie i wykorzystałem fakt, że trójkąt MAP po obrocie o kąt
beta zachowuje swoja wartość. Pozwala to zbilansować kąty wierzchołkowe
trójkąta MAN do 180. Uzyskamy stamtąd, że beta=alfa/2, czyli obiekt
toczony ma prędkośc kątową dukrotnie mniejszą od noża tokarskiego
wykonującego ruch po okręgu z promieniem A1N. Stosowny pdf podeślę na
adres prywaty.

WuKa


Niestety, w dowodzie jest pewien błąd, no co zwrócił mi uwagę autor
problemu. Bok PA po obrocie trójkąta MPA o kąt beta nie wyznacza tej cięciwy
okręgu o środku w punkcie N, na której oparłem rozumowanie.

WuKa

Witajcie!
Czy konstruowanie szesciokąta foremnego wpisanego w okrąg, poprzez odłożenie
na okręgu sześciu promieni jest poprawną konstrukcją , udowodnioną
geometrycznie, czy należałoby raczej wpisać trojkąt równoboczny i dopiero z
trójkąta tworzyć szesciokąt dzieląc każdy z boków na pół? Drugi sposób jest
na pewno poprawny, gdyż dzielimy każdy z boków trójkąta na dwa, co razem
daje sześć odcinków równej długości tworzących sześciokąt foremny; natomiast
jakoś mało mnie przekonuje odłożenie na okręgu sześciu jego promieni, skąd
to się wzięło???

PS. Proszę o odpowiedzi tych co wiedzą, a nie tych którym się wydaje :-)
Pozdrawiam
Tom

Użytkownik "Tom" <tomaszNOSPAMsu@poczta.onet.plnapisał
w wiadomości


Witajcie!
Czy konstruowanie szesciokąta foremnego wpisanego w okrąg,
poprzez odłożenie na okręgu sześciu promieni jest poprawną
konstrukcją


Sprawdz, jak sie w tej konstrukcji odnajduja nastepujace
stwierdzenia:
- suma katow w trojkacie rowna jest polowie kata pelnego
- w trojkacie rownobocznym wszystkie katy sa rowne

Maciek

On 2003-03-20 00:54, Tom wrote :


Witajcie!
Czy konstruowanie szesciokąta foremnego wpisanego w okrąg, poprzez odłożenie
na okręgu sześciu promieni jest poprawną konstrukcją , udowodnioną
geometrycznie, czy należałoby raczej wpisać trojkąt równoboczny i dopiero z
trójkąta tworzyć szesciokąt dzieląc każdy z boków na pół? Drugi sposób jest
na pewno poprawny, gdyż dzielimy każdy z boków trójkąta na dwa, co razem
daje sześć odcinków równej długości tworzących sześciokąt foremny; natomiast
jakoś mało mnie przekonuje odłożenie na okręgu sześciu jego promieni, skąd
to się wzięło???


Szeciokat foremny jest zlozony z szesciu trojkatow rownobocznych (kazdy
bok szesciokata jest podstawa jednego z trojkatow). Jesli dwa boki
kazdego trojkata wynosza R (a tak jest, bo szesciokat rownoramienny
wpisales w okrag), to z tego, ze sa to trojkaty rownopoczne, wynika, ze
podstawa musi miec tez dlugosc R. Teraz trzeba te podstawe o dlugosci R
narysowac 6 razy...
_Wydaje mi sie_, ze zbudowanie szesciokata za pomoca odmierzania szesciu
promieni jest dokladniejsze niz samo narysowanie wpisanego trojkata
rownobocznego, a co dopiero jeszcze dzielenie jego bokow na pol.
- Szwejk

Zad. 1.
Niech A, B, C i D będą wierzchołkami kwadratu. Z punktu A rysujemy okrąg o promieniu r. Niech P i Q będą punktami przecięcia tego okręgu z _brzegiem_ naszego kwadratu. Z symetrii konstrukcji wynika, że trójkąt APQ jest prostokątny (bo |AP|=|AQ|).
Oczywiście r jest niewiększe niż długość przekątnej kwadratu, czyli
r < 10V2.
Gdyby r <= 10, to trójkąt APQ byłby prostokątny. Zatem
r > 10.
Wtedy punkt P leży na boku BC, a punkt Q na boku CD.
Obliczamy długość odcinka PQ. Z twierdzenia Pitagorasa
|PC| = 10 - |BP| = 10 - V(r^2 - 10^2),
wobec czego
|PQ| = |PC| V2 = (10 - V(r^2 - 10^2))V2.
Skoro trójkąt APQ jest równoboczny, to
r = (10 - V(r^2 - 10^2))V2.
Rozwiązując to równanie (uwzględniając, że 10<r<10V2) otrzymamy
r = V(800-400V3) = 20 V(2-V3),
zgodnie z podaną przez Basię odpowiedzią.

Zad. 2.
Oznaczmy literą h wysokość walca, a literą r promień jego podstawy. Przekrojem kuli z wpisanym walcem jest koło z wpisanym prostokątem. Z twierdzenia Pitagorasa
(*) (2r)^2 + h^2 = 12^2.
Przypomnijmy wzór na objętość walca:
(**) V = pi r^2 h.
Wyznaczając z (*) r^2 i wstawiając do (**) otrzymamy
(***) V = pi * ... * h.
Wyliczamy pochodną i przyrównujemy ją do zera, pamiętając, że h>0. Otrzymamy wartość
h = ...
Wstawiamy tę wartość do (***) otrzymując odpowiedź
V_max = 96 pi V3.

Marcin Pamuła:


Witam
Nie wie ktoś przypadkiem, jak skonstruować pięciokąt
foremny?


Tak, przypadkiem. Bo niedawno ktos mnie zapytal,
odlozylem slychawke, dostalem konstrukcje,
i zadzwonilem z powrotem. Nawet wydala mi sie
prostsza niz te, ktore widzialem w przeszlosci.
Sam ocen.  Wlasciwie, to zapytano mnie o zloty
podzial, ale te dwie konstrukcje sa blisko
zwiazane i za jednym zamachem ma sie obie.


Pozdrawiam
Marcin


*********************************** ****************

Skonstruuj kwadrat  ABCD  (i przedluz bok  AB).
Wbij ostra nozke cyrkla w srodek  O  boku  AB,
i narysuj okrag przechodzacy przez C D. Dostaniesz
punkt  A'  przeciecia okregu z prosta  AB,  taki
ze  A lezy pomiedzy  A' i  B.

Koniec.  Odcinek  AA'  jest bokiem 10-kata foremnego
wpisanego w okrag o promieniu AB.

*********************************** *****************

Elementarna geometria szybko pokaze Ci, ze   AA' : AB
jest zlota proporcja (AB jest zlota czescia odcinka A'B).
Wystarczy wiedziec, ze  AD  (bok kwadratu)  jest
srednia geometryczna odcinkow  AA' i AB',  gdzie
 B'  jest drugim punktem przeciecia okregu z prosta AB.
Zeby to wiedziec, nalezy sobie dowiesc, ze kat oparty
o srednice jest prosty -- chodzi o  <A'DB'.  Czyli
 AD  jest wysokoscia w trojkacie prostokatnym  A'DB',
po czym podobienstwa odpowiednich trojkatow dadza
Ci  AD^2 = A'A*AB'.

Trojkat rownoramienny o podstawie  AA',  ktorego
pozostale dwa boki maja dlugosc  AB  ma katy
pi/5  2*pi/5  2*pi/5.

*********

Pozdrawiam,

    Wlodek

Domyślam się, że chodzi o ośmiokąt foremny - dowolny ośmiokąt rysuje się
znacznie prościej! ;)
Podam poniżej dwie konstrukcje.
I. W pierwszej konstrukcji przyjmuję, że chcemy skonstruować ośmiokąt o boku o
zadanej długości.
Skoro suma miar kątów ośmiokąta wynosi
(8-2)*180 stopni = 1 080 stopni
(bo ośmiokąt możemy łatwo pociąć na sześć rozłącznych trójkątów), to każdy kąt
ośmiokąta foremnego ma miarę
1 080 : 8 = 135 stopni.
Teraz konstruujemy nasz ośmiokąt foremny. Rysujemy odcinek AB ustalonej
długości. Na obu końcach rysujemy półproste AH-> i BC-> leżące w tej samej
półpłaszczyźnie wyznaczonej przez prostą zawierającą odcinek AB, tworzące z
odcinkiem AB kąty o mierze 135 stopni. (Takie półproste łatwo skonstruować,
wystarczy skonstruować kwadraty, których podstawy są przedłużeniami odcinka AB w
odpowiednią stronę, i wykreślić półproste zawierające odpowiednie przekątne tych
kwadratów.) Na tych półprostych znajdujemy odpowiednio punkty H i C takie, że
|AH| = |AB| = |BC|.
Następnie rysujemy półprostą HG-> (odpowiednio CD->) tworzącą z odcinkiem AH
(odpowiednio BC) kąt o mierze 135 stopni. (Są dwie takie półproste, wybieramy
właściwą.) Znajdujemy na tych półprostych odpowiednio punkty G i D takie, że
|HG| = |CD| = |AB|.
W podobny sposób znajdujemy wierzchołki E i F.
II. W drugiej konstrukcji zakładamy, że chcemy skonstruować ośmiokąt foremny
wpisany w zadany okrąg.
Najpierw rysujemy dowolną cięciwę naszego okręgu. Symetralna tej cięciwy
wyznacza średnicę naszego okręgu. Końce tej średnicy oznaczmy literami A i E.
Następnie narysujmy symetralną średnicy AE. Symetralna ta wyznacza kolejną
średnicę naszego okręgu. Końce tej średnicy oznaczmy literami C i G w ten
sposób, że kolejność ACEGA wyznacza dodatni kierunek obiegu okręgu (tzn. w lewo).
Z kolei narysujmy symetralną odcinka AC. Symetralna ta wyznacza kolejną
średnicę naszego okręgu. Końce tej średnicy oznaczmy literami B i F w ten
sposób, że kolejność ABCFA wyznacza dodatni kierunek obiegu okręgu (tzn. w lewo).
Na koniec narysujmy symetralną odcinka AG. Symetralna ta wyznacza kolejną
średnicę naszego okręgu. Końce tej średnicy oznaczmy literami H i D w ten
sposób, że kolejność ADGHA wyznacza dodatni kierunek obiegu okręgu (tzn. w lewo).